Université de technologie de Troyes

Thème 2 : Formage virtuel : Simulation numérique des procédés de mise en forme

Principaux intervenants permanents :

• Khemaïs Saanouni (coordinateur)
• Carl Labergère
• Houssem Badreddine
• Pascal Lafon 
• Benoit Panicaud
• Manuel François
• Slimane Amara
• Bruno Guelorget
• Guillaume Montay
• Arjen Roos
• Pascale Kanouté
• Laurent Daniel

Qu'est-ce que le formage virtuel ?

Le formage virtuel consiste à simuler numériquement divers procédés de mise en forme de structures métalliques minces ou massives. A cause des grandes déformations inélastiques subies par la matière sous des trajets de chargements thermomécaniques localement complexes, et en plus des phénomènes d’écrouissage non linéaires, de l’endommagement ductile est susceptible d’apparaitre dans des zones de fortes localisations des déformations. Cela peut aller jusqu’à l’amorçage de fissures macroscopiques et leur propagation dans la matière donnant ainsi une pièce défectueuse mettant ainsi en cause la gamme du procédé même. Dans d’autres situation on cherche au contraire, à favoriser le développement de l’endommagement en direction et en intensité afin de reproduire des opérations de coupe de la matière allant du poinçonnage à l’usinage par enlèvement de matière en passant par le cisaillage ou le dérivage de tôles plus ou moins minces. On pourra ainsi disposer d’une méthodologie numérique performante permettant d’optimiser un procédés de fabrication pour soit éviter l’endommagement et obtenir des pièces exemptes de défauts, soit au contraire contrôler la rupture ductile pour simuler des procédés de coupe. Dans tous les cas, il parait évident que le formage virtuel nécessite l’utilisation de modèles de comportement à fortes capacités prédictives qui reproduisent les principaux mécanismes physiques mis en jeu et leurs divers couplages forts, compte tenu des spécificités microstructurales des matériaux. En fait les performances d’une méthodologie de formage virtuel reposent sur le développement des trois aspects suivants:

Modélisation avancée du comportement thermomécanique des matériaux

• Description fine du comportement thermomécanique du matériau mis en forme
• Description fine du comportement des interfaces outil matière : contact-frottement

Modélisations numériques associée

• Formulations variationnelles  des équations de bilan : équations équilibre, équation de la chaleur et équations de bilan micromorphique (non-localité)
• Discrétisation adaptative espace-temps par EF ou par couplage MEF-MLSI (Moving Least Square Interpolation)  des équations de bilan et des équations de comportement
• Schémas de résolution globale du système algébrique MEF ou MEF-MLSI
• Méthodes d’intégration locale des équations de comportement
• Méthodes d’optimisation pour l’identification de paramètres et pour l’optimisation de procédés incluant des méthodes de réduction de modèles

Caractérisation expérimentale, identification et validation

• Développement de méthodes expérimentales fines et mesures de champs
• Identification des paramètres des divers modèles
• Simulation de divers procédés et comparaisons avec la réalité expérimentale

Convenablement menée, la simulation numérique en formage virtuel permet de raccourcir considérablement la mise au point du processus et de réduire les coûts de fabrication. Elle permet également d'explorer des domaines de faisabilité jusqu’alors inexplorés concernant des matériaux nouveaux dans le but de mettre au point de nouveaux produits à forte valeur ajoutée.

Le LASMIS s’est fixé comme objectif de développer des modélisations théoriques et numériques avancées pour proposer des ‘outils’ de formage virtuel performants afin de mettre au point des gammes de fabrication optimums à moindres coûts en tenant compte des interactions outils-matières. Ces outils numériques performants peuvent, selon les besoins, être simplifiés en assumant quelques hypothèses simplificatrices dictées par l’expérience pratique ou sur demande des industriels afin de satisfaire des contraintes technologiques et/ou économiques.

Modélisation avancée du comportement thermomécanique des matériaux

 La mise enforme de pièces métalliques se fait en général par de très grandes déformations (>50%) souvent sous conditions sévères de vitesses des déformations pouvant atteindre les 10⁶ s^-1 et des températures pouvant dépasser localement la température de fusion. Sous ses conditions, de nombreux phénomènes physiques influencent le comportement des matériaux aussi bien dans le volume que dans les interfaces de contact outils-matière et ne peuvent de ce fait être ignorés dans la modélisation sous peine de dégrader les résultats de simulation. Parmi ces phénomènes incontournables on trouve : la thermoélasticité, la thermoplasticité ou la thermoviscoplasticité, les échanges thermiques, les écrouissages isotrope et cinématique, les endommagements ductile ou/et de fluage, les diverses anisotropies initiales et induites par l’écrouissage et/ou par l’endommagement, la compressibilité induite par l’endommagement volumique, l’adoucissement induit par la thermique ou par l’endommagement, les effets unilatéraux liés à la fermeture partielle ou totale des micro-défauts en compression, les effets de la microstructure (nature et orientation des monocristaux) initiale et son évolution pendant la déformation, les effets d’un environnement agressif sur le comportement et les endommagements, le frottement et les échanges thermiques aux interfaces outils-matières, les effets de la forme spatiale et temporelle des trajets de chargement … Les divers couplages ‘forts’ entre ces divers phénomènes ne peuvent pas non plus être ignorés sous peine de ne pouvoir rendre compte des différents phénomènes qui en résultent.

L’objectif essentiel du LASMIS dans ce domaine est ‘d’importer’ les modélisations les plus avancées possibles, développées par la communauté de mécanique des matériaux en général en petites déformations, de les généraliser aux transformations finies pour rendre compte des grandes déformations, d’y enrichir les divers couplages et de les implémenter dans des plateformes de simulation numérique en choisissant des outils numériques adaptés et performants. Pour cela nous avons choisis de développer deux approches de modélisation différentes mais complémentaires : (i) approche macroscopique phénoménologique, (ii) approche multiéchelle ou de passage micro-macro ou de localisation-homogénéisation.

Avant de décrire brièvement ces deux approches, signalons que la présence d’un adoucissement (écrouissage négatif) se succédant à l’écrouissage positif (isotrope et cinématique), conduit à la perte d’unicité (voir même de l’existence) de la solution du problème de valeurs initiales et aux limites (PVIL) et qui se traduit par une solution numérique (par EF) fortement dépendante de la discrétisation spatiale (maillage) et temporelle (pas de temps). Deux méthodes peuvent être utilisées pour remédier à ce problème : (i) une méthode approchée, dans le cadre de la mécanique locale ou mécanique des milieux continus matériellement simples (MCMS), qui consiste à imposer une taille minimale du maillage, caractéristique d’un matériau donné dans le cadre d’une procédure de maillage adaptatif ; (ii) une méthode plus rigoureuse qui utilise le cadre de la mécanique des milieux continus généralisés (MCG) afin de procéder à une modélisation non locale en y introduisant des longueurs internes associées aux phénomènes non locaux retenus.

Milieux continus généralisés (théorie micromorphique) :

Il s’agit de généraliser la théorie locale MCMS, en introduisant des variables micromorphiques et leurs gradients comme degrés de liberté (ddl) additionnels en plus des déplacements et comme variables d’état micromorphiques.

• Equations de bilan : En définissant des efforts internes, des efforts de contact ainsi que des accélérations micromorphiques, le principe des puissances virtuelles généralisées, conduit alors aux équations de bilan suivantes avec leurs conditions aux limites (CL):

          o    Equation classique (locale) d’équilibre:

 
          o    Equations additionnelles de bilan micromorphique avec CL associées aux (i) variables micromorphiques formellement notées  : 

 
A ces équations, il convient de rajouter  l’équation classique de la chaleur tirée de la conservation de l’énergie avec ses CI et CL appropriées. L’ensemble de ces équations serviront à obtenir des formes faibles à l’origine de la résolution numérique par la MEF ou par MEF-MLSI. Il convient de remarquer que si les équations de bilan micromorphique sont nulles alors seules persistent les équations classiques d’équilibre et l’équation de chaleur qui sont caractéristiques des milieux continus matériellement simples (MCMS).

•    Equations de comportement micromorphiques dans le cadre de la MCG:

En plus de l’introduction de nouveau ddl dans le principe des puissances virtuelles, nous introduisons des variables d’état micromorphiques dans les potentiels d’état et des dissipations pour formuler des équations de comportement non locales à gradients de variables d’état. Plusieurs formulations peuvent être proposées dépendant des hypothèses retenues. L’exemple suivant montre une modélisation micromorphique conduisant à un modèle non local à gradient d’endommagement et à gradient d’écrouissage isotrope pour un solide isotherme et à isotropie totale en négligeant les dissipations micromorphiques (écrite dans une configuration objective tournée):

o    Equations non locales d’état (variables forces)

      
o    Equations non locales d’évolution des phénomènes dissipatifs
          

Où  le multiplicateur de Lagrange   tiré de la condition de consistance contient la contribution des variables micromorphiques. Il est à noter que si les quatre propriétés micromorphiques sont choisies nulles ( ), alors les équations d’état du modèle local isotrope et isotherme sont retrouvées.

Modélisation du comportement dans le cadre de la MCMS (théorie locale) :

Si l’on néglige les ddl et les variables micromorphiques on se place alors dans le cadre de la MCMS pour formuler des modèles de comportement et d’endommagement parfaitement locaux. Pour décrire les principaux phénomènes physiques et leurs divers couplages mutuels, nous nous mettons dans le cadre de la thermodynamique des processus irréversibles avec variables d’état dans lequel chaque phénomène physique est représenté par un couple de variables d’état. Un potentiel d’état, des fonctions de charge et des potentiels des dissipations sont alors définis, desquels sont déduites les relations d’état et les équations d’évolution des phénomènes dissipatifs grâce à la règle de normalité généralisée. En présence d’endommagement nous définissons ces potentiels et autres fonctions de charge dans une configuration fictive homogène (sans endommagement) équivalente à la configuration réelle endommagée. L’hypothèse de l’équivalence en énergie totale permet alors de définir de variables d’état effectives en fonction de la variable endommagement. L’objectivité de tous les modèles développés est assurée par une formulation dans un référentiel tournant eulérien par les valeurs propres des variables et lagrangien par son orientation solution d’une équation différentielle cinématique. Cette méthodologie basée sur la thermodynamique des processus irréversible est utilisée pour développer deux familles de modèles de comportement endommageable en suivant les deux approches suivantes :

• Approche macroscopique phénoménologique multiphysique: En appliquant l’approche macroscopique locale, nous pouvons développer toute une famille de modèles de comportement endommageables décrivant divers types d’anisotropies initiales et induites par l’écoulement inélastique écrouissable (écrouissage mixte) et endommageable. L’exemple suivant donne le cas d’un modèle à surface unique avec anisotropie totale, anisotherme et n écrouissages cinématiques mais sans compressibilité induite ni fermeture de microfissures (écrit dans une configuration objective tournée):         

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• Approche multiéchelles et multiphysiques: En utilisant une approche de type champs moyen pour la (visco-)plasticité cristalline, nous pouvons développer toute une famille de modèles de comportements élasto-(visco-)plastiques avec endommagement anisotrope et écrouissages inter et/ou transgranulaire, compte tenu des spécificités microstructurales des matériaux. L’exemple suivant donne un modèle de comportement « micro-macro » d’un matériau biphasique (Austénite et Ferrite, adapté notamment aux aciers duplex)  avec un écrouissage isotrope transgranulaire, un écrouissage cinématique intergranulaire et un endommagement transgranulaire pour la seule phase ferritique avec évolution de la texture, ainsi qu’une compressibilité induite par l’endommagement anisotrope:

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• Modélisation du frottement aux interfaces de contact: Une formulation d’un modèle de frottement  aux interfaces de contact outils-matière ou matière-matière (auto contact) peut être faite dans le cadre d’une théorie à variables d’état dans les deux cas dépendant ou indépendant du temps avec ‘écrouissage’ ou sans ‘écrouissage’ (type Coulomb). L’exemple suivant donne un modèle général de frottement qui tient compte de phénomène d’arrachement et d’usure:

Modélisation numérique associée

Avant de donner des indications générales sur la les aspects numériques associés à la modélisation avancée du comportement écrouissable et endommageable des matériaux, rappelons les formes fortes associées au problème de valeurs initiales et aux limites. Nous avons les équations d’équilibre, l’équation de la chaleur et deux équations de bilan micromorphique relatives à l’écrouissage isotrope et à l’endommagement. Ces 4 équations s’écrivent sous formes fortes  
 

Des formes faibles sont alors déduites de ces formes fortes, qui après discrétisation spatiale par EF de type Galerkin permet d’aboutir à un système algébrique non linéaire qui sera résolu soit par une stratégie statique implicite grâce à un schéma itératif de Newton-Raphson soit par une stratégie dynamique explicite grâce à un développement de Taylor au premier ordre appliqué séquentiellement aux 4 problèmes. Les spécificités suivantes sont développées :

Discrétisations adaptatives temporelle par différences finies et spatiale par éléments testées et éprouvées en 2D mais en cours de développement pour le 3D :

• Développement d’éléments spécifiques ayant des ddl supplémentaires et assurant la condition Inf-Sup ou BB (Brezzi Babuska)
• Résolution dynamique explicite séquentielles des divers problèmes
• Intégration locale 3D implicite avec réduction du nombre d’équations pour le calcul des contraintes et de toutes les variables d’état aux points de quadrature de chaque élément
• Suppression des éléments totalement endommagés, définition de nouvelles frontières du solide et nouvelle rediscrétisation géométrique de la structure
• Adaptation de la discrétisation spatiale sur la base d’indicateurs d’erreurs géométriques (courbure locale des surfaces en contact : outil-matière) ou thermomécaniques en dissipation, thermique, plastique, endommagement, …
• Calcul de diverses cartes de tailles en tous les nœuds et sélection ‘fine’ de la carte finale puis génération du nouveau maillage
• Transfert des champs de l’ancien au nouveau maillage avec possibilité d’imposer la vérification de l’admissibilité plastique aux points de Gauss du nouveau maillage (transfert contraint)

Discrétisations hybride MEF-MLSI auto adaptative: il s’agit de discrétiser les zones actives (plasticité, endommagement) par une méthode MLSI (meshless) en l’occurrence la méthode des éléments diffus (MED) ; puis les zones inactives (en décharge élastique) par EF 3D (Collaboration UTT/UTC) :

• Développement d’une approximation diffuse dans les zones actives grâce à la MED
• Définition d’une zone de transition entre les zones MEF et les zones MED où la cohérence entre les deux types d’approximation est imposée via des multiplicateurs de Lagrange
• Les zones inactives sont alors discrétisées par EF 3D de taille convenable
• L’intégration numérique des équations de comportement dans les zones MED est réalisée grâce à l’utilisation d’un maillage fictif
• Les frontières libres du solide sont toujours discrétisées par la MEF même si elles sont dans la zone active afin de garantir l’imposition des CL sur les frontières

Méthodes d’optimisation: Des outils numérique d’optimisation sont développés pour répondre à deux besoins : (i) minimiser les écarts entre des réponses expérimentales et des solutions numériques afin de déterminer les meilleurs valeurs des paramètres matériaux du modèle de comportement endommageable  i.e ; identification par une approche inverse ; (ii)optimiser des procédés de fabrication par rapport à divers critères de masse, de résistance ou simplement de forme :

Caractérisation expérimentale, identification et validation

En s’appuyant sur les modèles avancés de prévision des comportements et des endommagements des matériaux et sur les outils numériques associés, une méthodologie numérique adaptative de calcul de structures en général et de simulation des procédés de fabrication en particulier (formage virtuel) a été développée. Elle nécessite la disponibilité de données expérimentales fines nécessaires pour identifier les paramètres des modèles puis le traitement de divers exemples pour valider la méthodologie globale par comparaison avec des cas industriels avérés.

Caractérisation expérimentale fine :

L'indentation instrumentée est une technique expérimentale qui consiste à faire pénétrer une pointe pyramidale ou sphérique dans un matériau. La force et la profondeur de pénétration sont mesurées simultanément et la courbe force-profondeur permet d'obtenir diverses informations sur le comportement du matériau à l'échelle locale (dureté, module d'Young, fluage, limite d'élasticité...). La taille des empreintes effectuées est de l'ordre du micromètre, ce qui permet de mesurer l'état local du matériau. On peut ainsi obtenir une cartographie de l'état mécanique ou du comportement du matériau après une opération de mise en forme (généralement sur une section de la pièce) pour la comparer aux résultats de la simulation numérique.

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Etude expérimentale-numérique des localisations et instabilité :

Lorsque le matériau s'adoucit sous l'effet de l'endommagement des instabilités mécaniques surviennent et provoquent une localisation des déformations dans une zone particulière du matériau, localisation qui conduit ensuite à l'apparition d'une fissure et à la rupture. Dans le cas d'un essai de traction, ce phénomène est appelé striction. Ces instabilités peuvent être étudiées par simulation numérique à l'aide de calculs par éléments finis. Les modèles "locaux" habituellement utilisés permettent une première approche mais ils ont l'inconvénient d'être sensibles au maillage. Des travaux sont actuellement en cours pour développer des modèles "non locaux" avec une longueur interne caractéristique de l'écrouissage ou bien de l'endommagement. Parallèlement, des travaux expérimentaux étudient le développement de la striction en utilisant l'interférométrie laser de speckle (ESPI / DSPI) et en particulier l'évolution de la largeur de la bande de localisation au cours de la déformation plastique.

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Etude expérimentale-numérique des contraintes internes :

L'avenir des modèles du comportement mécanique des matériaux passe par une prise en compte croissante des phénomènes physiques survenants aux différentes échelles. Pour mieux comprendre ce qui se passe à l'échelle microscopique, un dialogue entre expérimentation et modélisation multiéchelle est indispensable. Ainsi, au LASMIS, des recherches sont menées sur le rôle des contraintes internes, c'est à dire des contraintes qui se développent à l'échelle des phases métallographiques ou des grains d'un polycristal. Ces contraintes internes peuvent être mesurées par diffraction des rayons X ou des neutrons ou encore modélisées par des modèles autocohérents.

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Quelques exemples de validation :

De nombreux cas de procédés de mise en forme ont été simulés avec succès, que ce soit pour des pièces massives ou bien des pièces minces (tôles). La prise en compte de l'endommagement ductile, éventuellement couplé aux phénomènes thermiques permet :

• de décrire l'apparition de défauts dans le composant dans le but de les éviter
• de décrire la façon dont la matière est découpée par des outillage
• de décrire l'apparition de bandes de cisaillement adiabatique

Quelques exemples de résultats sont donnés ci-dessous
 

Extrusion d'un lopin. Sous certaines conditions de mise en forme (angle de filière, taux de réduction...), des défauts périodiques, appelés chevrons, apparaissent dans le matériau extrudé. L'objectif ici, est d'éviter ces défauts ou bien de quantifier l'endommagement du composant alors même que le défaut n'est pas encore présent. La simulation numérique, superposée à une coupe d'un lopin réel, permet de retrouver la morphologie et la périodicité des chevrons.Voir l'animation présentée en tête de cette page.
       
Simulation numérique de la coupe orthogonale avec prédiction de l'apparition de bandes de cisaillement adiabatiques. En haut à gauche, déroulement du copeau lors de la coupe. En haut à droite micrographies de copeaux réels montrant leur morphologie et la présence des bandes de cisaillement (tirées de Mabrouki T., Deshayes L., Rigal J.F., 7th ESAFORM, 2004). En bas, champs de températures à deux stades de fractionnement du copeau montrant les bandes de cisaillement. Ce type d'étude permet de comprendre la formation du copeau et l'influence du comportement thermomécanique du matériau sur l'usinage.

Simulation numérique d'une opération de dérivage de tôles. Des outils viennent découper la tôle au cours de son défilement. La simulation permet de quantifier la déformation de la tôle (exagérée sur l'image ci-dessus à fin de visualisation) sous l'effet de l'action des outils et de prédire l'état de contraintes résiduelles après dérivage. On peut ainsi étudier l'influence de la disposition des outils, des jeux de découpe, de l'usure des outils, etc. Collaboration Arcelor-Mittal.